TEMA 10 DE MATEMÁTICAS

                                             TEMA 10

          

     ÁNGULOS. CLASES Y MEDIDA.

   1.  ÁNGULOS Y SU MEDIDA

  2.  EL GRADO, EL MINUTO Y EL SEGUNDO.

  3.  SUMA DE ÁNGULOS. 

  4.  RESTA DE ÁNGULOS.

  4.  REPASO LA UNIDAD. 

1.  ÁNGULOS Y SU MEDIDA

LOS ÁNGULOS
 

El ángulo viene limitado por un vértice y dos lados.

La recta que partiendo del vértice del ángulo lo divide en 2 partes iguales se llama bisectriz:

La amplitud de los ángulos se mide en grados, y puede ir desde 0º a 360º

1.- Tipos de ángulos

Según la amplitud de los ángulos, estos se pueden clasificar en:

Agudo (menos de 90 grados)

Recto (90 grados)

Obtuso (más de 90 grados)

Llano (180 grados)

Completo (360 grados)

2.- Relación entre dos ángulos
Entre 2 ángulos se pueden establecer distintas relaciones:
a) Ángulos consecutivos: Son aquellos que tienen en común el vértice y uno de los lados.

b) Ángulos complementarios: Son dos ángulos consecutivos que suman 90 grados, formando su unión un ángulo recto.

La suma de estos dos ángulos forman un ángulo recto (35º + 55º = 90º).

c) Ángulos suplementarios (adyacentes): Son dos ángulos consecutivos que suman 180 grados, formando su unión un ángulo llano.

La suma de estos dos ángulos forman un ángulo llano (65º + 115º = 180º).

d) Ángulos opuestos por el vértice:

Cada lado de un ángulo es prolongación del lado del otro ángulo.

El Lado A es prolongación del Lado C

El Lado B es prolongación del Lado D

ÁNGULOS

Cuando dos rectas se cortan, forman 4  regiones llamadas ángulos. Cada ángulo  está limitado por dos lados y un vértice.

TODO SOBRE LOS ÁNGULOS

1.TIPOS DE ÁNGULOS

¿QUÉ ES UN ÁNGULO?

Pincha en la imagen para ampliarla

CLASIFICACIÓN 

CLASIFICA LOS ÁNGULOS JUGANDO

2.Trazando ángulos

 

 

Cómo medir los ángulos

 

2.  EL GRADO, EL MINUTO Y EL SEGUNDO.

3.- Otras unidades de medida de los ángulos

Para medir un ángulo con mayor precisión hay unidades de medida menores que el grado:

Minuto: un grado tiene 60 minutos. Se representa con una '
Segundo: un minuto tiene 60 segundos. Se representa con dos ' '

Por ejemplo:

Un ángulo de ampitud: 60 º 35 ' 40 '' (60 grados, 35 minutos y 40 segundos)

Para pasar de unidades mayores a menores:

Para pasar de unidades menores a mayores:

Veamos algunos ejemplos:

¿Cuantos minutos son 5 grados? 5 x 60 = 300 minutos
¿Cuantos segundos son 10 grados? 10 x 60 x 60= 36.000 segundos
¿Cuantos grados son 420 minutos? 420 : 60 = 7 grados
¿Cuantos grados son 7.200 segundos? 7.200 : 60 : 60 = 2 grados

Las médidas de amplitud de un ángulo se pueden expresas de dos maneras:

a) Expresión incompleja: utiliza una única unidad:
Por ejemplo: 22.155 ''
b) Expresión compleja: utiliza más de una unidad:
Por ejemplo: 6 º 9 ' 15 ''

4.- ¿Cómo convertimos una expresión incompleja en una compleja?

Vamos a convertir la expresión del ejemplo (22.155 ''):

1º- Calculamos los minutos: para ello dividimos los segundos entre 60: el cociente serán los minutos y el resto los segundos:
22.155 : 60 = 369 (resto 15)
Tenemos 369 minutos y 15 segundos.
2º- Calculamos los grados: dividimos los minutos entre 60: el cociente serán los grados y el resto los minutos:
369 : 60 = 6 (resto 9)
Tenemos 6 grados y 9 minutos
Ya tenemos la equivalencia:
22.155 '' = 6 º 9 ' 15 ''

5.- ¿Cómo convertimos una expresión compleja en una incompleja?

La expresión del ejemplo (6 º 9 ' 15 '') la vamos a expresar en segundos:

1.- Convertimos los grados multiplicando 2 veces por 60:
6 x 60 x 60 = 21.600 ''
2.- Convertimos los minutos multiplicando por 60:
9 x 60 = 540 ''
3.- Sumamos todos los segundos:
21.600 '' + 540 '' + 15 '' = 22.155 ''

1. UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. SISTEMA SEXAGESIMAL.  

Para medir ángulos se necesitan dos cosas:

• Una unidad de medida.
• Un aparato que reproduzca dicha unidad de medida.

Sistema sexagesimal: Recibe este nombre porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la siguiente inferior (o superior). La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimal es el grado (º), que es el resultado de dividir el ángulo llano en 180 partes iguales.  Así, un ángulo recto mide 90º. Cada grado se divide en 60 minutos (´) y, cada minuto, en 60 segundos (´´).   Transportador de ángulos o semicírculo graduado. Es un semicírculo dividido en 180 partes iguales. Cada una de ellas es un grado (º).Las unidades que se usan para medir ángulos más pequeños que el grado son el minuto (1´) y el segundo (1´´). Sus equivalencias son 1º=60´ y 1´=60´´. El minuto y el segundo son unidades muy pequeñas que a simple vista no se aprecian. Para medirlas se utiliza el teodolito, un instrumento de mucha precisión. 

  

 

3.  SUMA DE ÁNGULOS. 

Vamos a ver la suma de ángulos con un ejemplo.
Queremos sumar estos dos ángulos:

12 º 45 ' 53 ''
23 º 32 ' 41 ''

..........

Se suman los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

• Si los segundos sobrepasan 60, cada bloque de 60 lo convertiremos en minutos.
• Si los minutos sobrepasan 60, cada bloque de 60 lo convertiremos en grados.

Sigamos con el ejemplo:

Empezamos analizando los segundos: cada bloque de 60 segundos lo convertimos en minutos:
94 segundos supera a 60 (1 minuto) pero no llega a 120 (2 minutos). Los primeros 60 segundos los convertimos en 1 minuto.
94 segundos = 1 minuto + 34 segundos
A los 77 minutos le sumamos este minuto, por lo que son 78 minutos.
Seguimos analizado los minutos:
78 minutos supera a 60 (1 grado) pero no llega a 120 (2 grados). Los primeros 60 minutos los convertimos en 1 grado.
78 minutos = 1 grado + 18 minutos
A las 35 grados le sumamos este grado, por lo que son 36 grados.
En definitiva, la suma sería: 36 º 18 ' 34 ''

AHORA, ¡PRACTICA!

 

4.  RESTA DE ÁNGULOS.

Veamos un ejemplo:
Queremos restar dos ángulos:

25º 32 ' 17 ''
12º 43 ' 35 ''

..........

Se restan los grados con los grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

• Si la resta de los segundos da negativo, tomaremos 1 minuto del minuendo y lo pasaremos a los segundos.
• Si la resta de los minutos da negativo, tomaremos 1 grado del minuendo y lo pasaremos a los minutos.

Sigamos con el ejemplo:

Empezamos analizando los segundos: como la resta es negativa (-18 '') a los segundos le pasamos un minuto.
Por lo tanto, le restamos 1 a la columna de los minutos y se lo sumamos (1 minuto = 60 segundos) a la columna de los segundos.

La resta de los segundos ya da positivo.
Seguimos analizado los minutos: como la resta es negativa (- 12 ') a los minutos le pasamos un grado:
Por lo tanto, le restamos 1 a la columna de los grados y se lo sumamos (1 grado = 60 minutos) a la columna de los minutos.

La resta de los minutos ya da positivo.

En definitiva, la resta sería: 12º 48 ' 42 ''

SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

 

Ejercicios

 1.- Resuelve las siguientes operaciones:

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

PINCHA EN LA IMAGEN Y ENTENDERÁS PERFECTAMENTE QUÉ SON LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.

ÁNGULOS DE MÁS DE 180º

¿QUÉ ES UN ÁNGULO CÓNCAVO?

AHORA, PUEDES JUGAR CON LOS ÁNGULOS PINCHANDO EN EL ENLACE SIGUIENTE:

JUEGOS

TRIÁNGULO DE BOLAS

Moviendo solo tres bolas debes dejar el mismo triángulo pero con el vértice hacia abajo.